Sujet de Mathématiques – Série A – 2021

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ………………. SECRETARIAT GENERAL ……………….. DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ………………… DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ………………… Service d’Appui au Baccalauréat

BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL       SESSION     2021

D

Série   Option Code matière

: Littéraire : A : 009

Epreuve de  Durée  Coefficient

: Mathématiques : 02 heures 15minutes : A1= 1 ; A2=3

N.B :     – Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (05 points)

Soit la suite (U_n) Définie par

 {                                   Uo = 2

                                      ∀ n ∈ N, 2_Un+1 = U_n+1+ U_n

1. a) Montrer que (U_n)  est une suite arithmétique de raison r = –1                                                         (1pt)
2. Exprimer (U_n)   en fonction de n                                                                                                                   (0,5pt)
3. Déterminer N pour que (U_n) = –98.                                                                                                           (1pt)
4. Calculer la somme S = U₀ + U₁ + …+ U₁₀₀                                                                                                                                               (1pt)
5. Soit (V_n)   la suite définie par (V_n)  = e^2-n                                                                                                                 (0,5pt)

Montrer que (V_n)   est une suite géométrique dont on déterminera la raison q et le premier

terme V₀                                                                                                                                                                         (2pt)

EXERCICE 2 (05 points)

Une boîte contient 5 jetons indiscernables au toucher dont 3 noirs et 2 blancs.

1. On tire au hasard et simultanément 3 jetons de la boîte. Calculer la probabilité de chacun des

 événements suivants :

A : « Obtenir 3 jetons de même couleur ».                                                                                                       (1pt)

B : « Obtenir exactement deux jetons noirs ».                                                                                               (1pt)

C : « Obtenir au moins un jeton blanc ».                                                                                                            (1pt)

• On tire successivement et sans remise 3 jetons de la boîte. Calculer la probabilité de chacun des

 événements suivants :

D : « Obtenir deux jetons noirs aux deux premiers tirages et un blanc au dernier ».                      (1pt)

E : « Obtenir exactement un jeton blanc ».                                                                                                      (1pt)

NB : Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

PROBLEME (10 points) :

On considère la fonction numérique f définie par f(x) = x + 2 + e^-x.                                                     A1                          A2

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, ,) d’unité 1 cm.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.                                                                                        (1pt)                     (1pt)
2. a) Montrer que pour tout x≠ 0 ; f(x) = x ( 1+ 2/x + 1/x^ex )                                            (1)                         (0,75)

b) Sachant que lim x^ex = 0- Calculer lim f(x)                                                                   (0,5)                      (0,5)

x→ +∞ x→ –∞  

• Calculer   lim f(x)                                                                                                                            (0,5)                      (0,5)
  • x→ +∞

3. Montrer que pour tout x ∈ ℝ Où f’(x) est la fonction dérivée de f                  (1)                          (0,75)

4. a) Etudier le signe de e^x -1 sur ℝ                                                                                                                (0,5)                      (0,25)

• Dresser le tableau de variation de f .                                                                    (1,5)                (1,5)
• Montrer que la droite (D) d’équation y = x+ 2 est une asymptote oblique à (C)                      (1)                     (0,5)
• Calculer f(–2) et f(–1) à 0,01 près.                                                                                                                 (1)                      (0,5)
• Tracer la partie de la courbe (C) sur l’intervalle [-2 ; + ∞[ En précisant son asymptote

 oblique.                                                                                                                                                                          (2)                          (1,75)

Pour A2 seulement :

• Soit F la fonction définie sur ℝ Par  F(x) = x²/2 + 2x – e^-x
• Calculer F’(x) pour tout x ∈ ℝ . Que peut-on en conclure ?                                                                                      (1)
• Calculer, en cm² et à 0,01 près, l’aire du domaine plan délimité par la courbe (C),

 l’axe des abscisses et les droites d’équation respectives x = 0 et x = 1                                                                                (1)