| MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR Service du Baccalauréat | BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2022 |
| D | Série Option Code matière | : Littéraire : D : 009 | Epreuve de Durée Coefficient | : Mathématiques : 03 heures15 minutes : 4 |
NB : – L’utilisation d’une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
– Les deux exercices et le problème sont obligatoires.
Exercice 1 (05 points)
Soit P le polynôme à variable complexe z défini par :
P(z) = z2 – iz – 1 + i
Résoudre dans C, l’équation P(z)=0 (0,75pt)
Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, u ⃗, v ⃗) d’unité 1cm,
on donne les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1 ; zB=1+i et zC= 1+5i
Placer les points A, B, C (0,75pt)
Montrer que ABC est un triangle rectangle en B (0,5pt)
Déterminer et construire, dans (P), l’ensemble (D) des points M d’affixe z vérifiant
|(z-1)/(z+1-i)|=1 (1pt)
Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme A en C
Donner l’expression complexe et les éléments caractéristiques de S (1,25pt)
Déterminer et construire, dans (P), l’ensemble (Γ) Image de l’ensemble (D) par S. (0,75pt)
Exercice 2 (05 points)
On dispose d’une urne contenant six jetons indiscernable au toucher dont :
Trois jetons numérotés 1
Deux jetons numérotés 2
Un jeton numéroté 3
et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1, 1, 2, 2, 2, 3
L’épreuve (E) consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l’urne et à lancer une fois le dé.
On effectue une épreuve. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
Calculer les probabilités des événements suivants :
A : « Le produit des trois numéros obtenus est égal à 4 » (0,75pt)
B : « La somme des trois numéros obtenus est égale à 5 » (0,75pt)
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 obtenu lors d’une épreuve.
Donner la loi de probabilité de X (1,5pt)
1. Lors d’une épreuve, on appelle « succès » l’obtention de trois numéros impairs.
Montrer que la probabilité d’avoir un succès est égale à 1/5 (0,75pt)
Soit n∈N^*∖{1}. On répète n fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (E)
Calculer la probabilité pn de l’événement :An : « Obtenir au moins un succès lors des n épreuves » (0,75pt)
Déterminer le nombre minimum d’épreuves qu’on doit effectuer pour que
pn>0,99 (0,5pt)
Problème (10 points)
On considère la fonction numérique f définie sur [–1; +∞[ Par :
{█(f(-1)=e@f(x)=(x+1) ln〖(x+1)+e^(-x) si x>–1〗 )┤
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i ⃗, j ⃗) tels que
‖i ⃗ ‖ = 2cm et ‖j ⃗ ‖ = 1 cm
a) Etudier la continuité à droite en x0 = –1 de la fonction f (0,5pt)
b) Montrer que lim┬(x→ –1^+ )〖(f(x)-f(1))/(x+1)〗= –∞ (On peut poser X= x+1) (0,75pt)
Soit g la fonction définie sur ]–1; + ∞[ Par g(x) = 1+ ln(x+1) – e-x
Etudier la variation de g (0,75pt)
Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x (0,75pt)
a) Calculer f’(x) où f’ est la fonction dérivée première de f (0,75pt)
Dresser le tableau de variation de f (1,25pt)
a) Etudier la branche infinie de (C) (0,25pt)
b) Construire (C) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse x0= –1 (1,75pt)
5) A l’aide d’une intégration par partie, calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par
la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x= 0 et x = 2 (1pt)
Soit (U_n )(n∈N) La suite définie par : Un= ∫(n/2)^((n+1)/2)▒〖e^(-x) dx〗 pour tout n∈N
a) Exprimer Un en fonction de n (1pt)
b) Montrer que (U_n )_(n∈N) Est une suite géométrique dont on précisera la raison et
le premier terme. (1,25pt)