Sujet de Mathématiques – Série C – 2020

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE                         
SECRETARIAT GENERAL                         
DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR                         
Service d’Appui au Baccalauréat  
BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL        
SESSION 2020
DSérie  
Code matière
: C  
: 011
Epreuve de
Durée
Coefficient
: MATHEMATIQUES
: 03 heures 15 minutes
: 4

NB :     – Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

– L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

EXERCICE (05 points)
Soit le polynôme P à variable complexe z définie par :
P(z) = z3 – (9+4i)z2 + (23+ 22i)z -15 – 30i
a) Calculer P(3) (0,25pt)
Résoudre dans C l’équation : P(z) = 0 (1pt)
Dans le plan complèxe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, u ⃗, v ⃗), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA= 2+ i ; zB =3 et zC= 4+3i
On pose Z = (Z_C 〖-Z〗_A)/(Z_B-Z_A )
Ecrire Z sous forme trigonométrique, en déduire la nature du triangle ABC. (0,75pt)
M’ étant le point du plan d’affixe z’. On pose z’= (z-4-3i)/(z-3) avec z≠3
Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z pour que z’ soit
imaginaire pur. (1pt)
Soit S la similitude plane directe de centre A telle que S(B)= C
Donner l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques. (1pt)
Soit S’ la similitude directe de centre A, de rapport 3/2 et d’angle π/2
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composition : f= SoS’ (1pt)

EXERCICE 2 (05 points)
Un sac contient dix jetons indiscernables au toucher dont 2 verts, 3 bleus et 5 jaunes.
On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir exactement deux jetons jaunes ». (0,5pt)
B : « Obtenir au moins deux jetons de même couleur » (1pt)
On remet le sac dans sa condition initiale. L’épreuve (ε) consiste à tirer au hasard et simultanément quatre jetons du sac. On effectue une fois l’épreuve (ε) et on considère les événements suivants :
C : « Avoir trois jetons de même couleur »
D : « Avoir au plus un jeton bleu »

Calculer la probabilité de l’événement C. (0,5pt)
Montrer que p(D)= 2/3 où p(D) est la probabilité de l’événement D. (0,5pt)
On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (ε)
A chaque épreuve, on gagne 1 point si l’événement D est réalisé, sinon on gagne 0 point.
Soit X la variable aléatoire égale au total des points gagnés à l’issue de trois épreuves.
Déterminer l’univers-image de X (0,5pt)
Calculer l’espérance mathématique et la variance de X (1pt)
Calculer P(X ≥2) (1pt)
NB : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

PROBLEME (10pts)
Soit f la fraction numérique définie sur [0; +∞┤[ par :
{█(f(0)=1

f(x)= 1/2 x^2 (3-2lnx)+1 si x >0)┤

On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i ⃗ ; j ⃗) d’unité 2 cm.
a) Calculer .Que peut-on en déduire pour la fonction f ? (0,75pt)
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en x0 = 0 (0,5pt)
a) Déterminer la limite de f en +∞ (0,5pt)
b) Montrer que pour tout x> 0 : f’(x) = 2x(1 –lnx) où f’ est la fonction dérivée de f. (0,75pt)
Dresser le tableau de variation de f sur ├]e; +∞┤[ (1pt)
Montrer que l’équation f(x)= 0 admet une solution unique ∝ sur ├]e; +∞┤[
et vérifier que 4,6<∝< 4,8 (1pt)
a) Montrer que la courbe (C) admet un point d’inflexion I que l’on déterminera les
coordonnées. (1pt)
b) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x1 = 1. (0,5pt)
a) Etudier la branche infinie de (C) en +∞ (0,5pt)
b) Construire (T) et (C) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse x0 = 0
(Prendre ∝=4,7 ; e=2,7 et e2= 7,4 pour la construction) (1,75pt)
a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I= ∫_1^e▒〖x^2 lnx dx〗 (1pt)
b) En déduire, en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C)
L’axe (x’ox) et les droites d’équations respectives x= 1 et x = e (0,75pt)