| MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR Service d’Appui au Baccalauréat | BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2020 |
| D | Série Code matière | : C : 011 | Epreuve de Durée Coefficient | : MATHEMATIQUES : 03 heures 15 minutes : 4 |
NB : – Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.
– L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.
EXERCICE (05 points)
Soit le polynôme P à variable complexe z définie par :
P(z) = z3 – (9+4i)z2 + (23+ 22i)z -15 – 30i
a) Calculer P(3) (0,25pt)
Résoudre dans C l’équation : P(z) = 0 (1pt)
Dans le plan complèxe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, u ⃗, v ⃗), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA= 2+ i ; zB =3 et zC= 4+3i
On pose Z = (Z_C 〖-Z〗_A)/(Z_B-Z_A )
Ecrire Z sous forme trigonométrique, en déduire la nature du triangle ABC. (0,75pt)
M’ étant le point du plan d’affixe z’. On pose z’= (z-4-3i)/(z-3) avec z≠3
Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z pour que z’ soit
imaginaire pur. (1pt)
Soit S la similitude plane directe de centre A telle que S(B)= C
Donner l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques. (1pt)
Soit S’ la similitude directe de centre A, de rapport 3/2 et d’angle π/2
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composition : f= SoS’ (1pt)
EXERCICE 2 (05 points)
Un sac contient dix jetons indiscernables au toucher dont 2 verts, 3 bleus et 5 jaunes.
On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir exactement deux jetons jaunes ». (0,5pt)
B : « Obtenir au moins deux jetons de même couleur » (1pt)
On remet le sac dans sa condition initiale. L’épreuve (ε) consiste à tirer au hasard et simultanément quatre jetons du sac. On effectue une fois l’épreuve (ε) et on considère les événements suivants :
C : « Avoir trois jetons de même couleur »
D : « Avoir au plus un jeton bleu »
Calculer la probabilité de l’événement C. (0,5pt)
Montrer que p(D)= 2/3 où p(D) est la probabilité de l’événement D. (0,5pt)
On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (ε)
A chaque épreuve, on gagne 1 point si l’événement D est réalisé, sinon on gagne 0 point.
Soit X la variable aléatoire égale au total des points gagnés à l’issue de trois épreuves.
Déterminer l’univers-image de X (0,5pt)
Calculer l’espérance mathématique et la variance de X (1pt)
Calculer P(X ≥2) (1pt)
NB : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
PROBLEME (10pts)
Soit f la fraction numérique définie sur [0; +∞┤[ par :
{█(f(0)=1
f(x)= 1/2 x^2 (3-2lnx)+1 si x >0)┤
On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i ⃗ ; j ⃗) d’unité 2 cm.
a) Calculer .Que peut-on en déduire pour la fonction f ? (0,75pt)
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en x0 = 0 (0,5pt)
a) Déterminer la limite de f en +∞ (0,5pt)
b) Montrer que pour tout x> 0 : f’(x) = 2x(1 –lnx) où f’ est la fonction dérivée de f. (0,75pt)
Dresser le tableau de variation de f sur ├]e; +∞┤[ (1pt)
Montrer que l’équation f(x)= 0 admet une solution unique ∝ sur ├]e; +∞┤[
et vérifier que 4,6<∝< 4,8 (1pt)
a) Montrer que la courbe (C) admet un point d’inflexion I que l’on déterminera les
coordonnées. (1pt)
b) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x1 = 1. (0,5pt)
a) Etudier la branche infinie de (C) en +∞ (0,5pt)
b) Construire (T) et (C) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse x0 = 0
(Prendre ∝=4,7 ; e=2,7 et e2= 7,4 pour la construction) (1,75pt)
a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I= ∫_1^e▒〖x^2 lnx dx〗 (1pt)
b) En déduire, en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C)
L’axe (x’ox) et les droites d’équations respectives x= 1 et x = e (0,75pt)