Sujet de Mathématiques – Série C – 2019 – Deuxième session

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE                          SECRETARIAT GENERAL                          DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR                          Service d’Appui au Baccalauréat

BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL         SESSION 2019

c

Série   Code matière

: C   : 009

Epreuve de : Durée : Coefficient :

MATHEMATIQUES 04 heures 5

NB :     – L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE : (4points)

ARITHMETIQUE :

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 4²⁰¹⁸ par 7                                     (0,5pt)
2. Calculer les entiers naturels non nuls a et b vérifiant { PGCD (a;b) = 15  – PPCM (a;b) = 360 (1 pt)            
3. Résoudre dans ℤ/5ℤ l’équation :                                                   (0,5pt)

PROBABILITE :

Une urne contient une boule numérotée 1, deux boules numérotées 2,…, n boules numérotées n où n est un entier naturel supérieur à 2. Les boules sont identiques et indiscernables au toucher.

1. On prend n=10 ; on extrait au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « On obtient une boule numéroté 10 »                                                               (0,5pt)

B : « le numéro de la boule obtenue est un nombre premier »                                             (0,25pt)

• Dans cette question, on prend n pair.

On tire au hasard une boule de l’urne

1. Déterminer le nombre de cas possibles                                                               (0,5pt)
2. On note P_n la probabilité de l’événement C : « avoir une boule de numéro pair »         (0,5pt)
3. Calculer lim_{n →  +∞}  P_n                                                                                        (0,25pt)

PROBLEME I (7points)

Dans un plan orienté (P), on considère un rectangle ABCD tels que mes

et AB = 2AD = 6cm. I est le milieu de [AB] ; E est un point du plan tel que AIED est un carré de sens direct.

Soient :

• t la translation de vecteur →ID;
• r la rotation de centre A et d’angle π/2 et f = tor
• S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme B en E ;
• S_(BE) la réflexion d’axe (BE) et g =  toS_(BE)

PARTIE A

1. a- Montrer que E est le barycentre du système des points pondérés

{(A ;1) ; (I ; -1) ; (D ;-1)}                                                                                          (0,5pt)

• Déterminer et construire l’ensemble () des points M du plan tel que

||→MA →MI – →MD|| = ||2→MA – →MI – →MD||                                                     (0,5pt)

• Déterminer et construire l’ensemble () des points M du plan tel que : →MA² – →MI² – →MD² = 9

• a- Préciser la nature de la transformation f.                                                               (0,25pt)

b- En décomposant t et r en deux symétries orthogonales, déterminer les éléments géométriques

de f.                                                                                                                           (1,25pt)

• a- Déterminer le rapport et l’angle de S                                                                                (0,5pt)
• Soit (C) le cercle de centre E et passe par C. Construire le cercle (C’), image de (C) par S. (0,5pt)

PARTIE B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; →u, →v)

On donne les points A, B, C, D et I d’affixes respectives :

z_A =  –1 ; z_B = 3 ; z_C = 3 + 2i ; z_D =  –1 + 2i  et  z_I = 2

1. a- Déterminer l’affixe du point E                                                                            (0,25pt)
2. Déterminer l’expression complexe de S                                                       (0,5pt)
3. En déduire les éléments caractéristiques de S                                                           (0,5pt)
4. a- Quelle est la nature de g ?                                                                               (0,25pt)
5. Déterminer l’expression complexe de t et S_(BE)                                                                           (0,75pt)
6. En déduire l’expression complexe de g, puis leurs éléments géométriques   (0,75pt)

PROBLEME II (09points)

On considère la fonction f_n définie sur ℝ par : f_n(x) = x + (1 – x)ⁿ e-x/n ! on note (C_n) la

Courbe représentative de f_n dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; →i, →j) d’unité 1cm

PARTIE A :

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 1 + (x – 2)e^-x
2. Etudier les variations de f                                                                                 (1pt)
3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur ]-∞ ;3[

Vérifier que ∞ ∈ [0;1]                                                                         (0,5pt+0,25pt)

• En déduire le signe de f (x) suivant les valeurs de x                                          (0,25pt)
• Pour la suite, on prend n = 1
• Calculer la limite de f₁ en –∞  puis en +∞                                                              (0,25+0,25pt)
• Montrer que, pour tout x ∈ ℝ, f₁’(x) = f (x). En déduire le tableau de variation de f₁                                               (0,5+0,25pt)

• Etudier les branches infinies de (C₁)                                                                         (0,75pt)
• Etudier la position relative de (C₁) par rapport à l’asymptote                                               (0,5pt)
• Construire (C₁)                                                                                                         (0,75pt)

On prendra  α = 0,5

PARTIE B :

Soit (E) l’équation différentielle définie par : (E) : y’ + y =  x + 1 – e^-x

1. Vérifier que f1 est une solution de (E) dans ℝ                                                                             (0,5pt)
2. a) Déterminer les solutions générales de : (E’) : y’+y = 0                                                                  (0,25pt)

b) Montrer que la fonction g+f₁  est une solution de (E) si et seulement si

g est une solution de (E’)                                                                                                            (0,5pt)

c) En déduire toute les solutions de (E) dans ℝ                                                                           (0,25pt)ȹ

PARTIE C

On pose pour tout

1.Prouver que, pour tout n ∈ ℕ*,

En déduire lim _In                                 (0,5+0,25pt)

n→+∞

En utilisant une intégration par parties, montrer que, pour tout n ∈ ℕ*:

 I_n+1= 1/(n+1)! – In                                                                                                                            (0,5pt)

. Soit (a_n)_n≥1 une suite définie par :

On pose I₁ =  Démontrer par récurrence que a_n = 1/e + (-1)ⁿI_n et

Calculer lim a_n,puis conclure.                                                                              (0,5+0,25+0,25pts)

n→+∞