Sujet de Mathématiques – Série C – 2019 – Première session

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE                          SECRETARIAT GENERAL                          DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR                          Service d’Appui au Baccalauréat

BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL         SESSION 2019

c

Série   Code matière

: C   : 009

Epreuve de : Durée : Coefficient :

MATHEMATIQUES 04 heures 5

NB :     – L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE (4pts)

Arithmétique :

1. Dans ℤ x ℤ, On considère deux équations :

(E₀) : 39x – 17y = 1 et (E) : 39x – 17y = 4

1. Justifier que l’équation (E₀) admet une solution dans ℤ x ℤ      (sans résoudre l’équation (E₀)).                     (0,25pt)
2. a) Par l’algorithme d’Euclide relatif aux nombres 39 et 17, trouver une solution particulière de (E₀).    (0,5pt)

b) En déduire une solution particulière de (E).

Achever la résolution dans ℤ x ℤ de l’équation (E).                                                       (0,25pt+0,5pt)

1. Soit n un entier naturel
2. Montrer que si n est impaire, alors 10ⁿ+1 est divisible par 11.                                                   (0,25pt)
3. Dans le cas de n pair, donner le reste de la division euclidienne de 10ⁿ+1  par 11.                          (0,25pt)

Probabilité

Une roulette truquée comporte quatre secteurs différents numérotés 1,2,3 et 4. Quand on lance la roulette,

c’est-à-dire lorsqu’on la fait tourner, un index fixe pointe sur l’un des quatre secteurs à l’arrêt.

Après un lancement, on note P_k la probabilité pour que l’index pointe le secteur numéroté k où k .

On admet qu’il existe un réel strictement positif α tel que P_k=kα.

1. Un joueur lance la roulette une fois.

a) Déterminer le réel a. en déduire les probabilités P₁, P₂, P₃ et P₄                                        (0,75pt)

b) Soit l’évènement A : « L’index pointe sur un secteur portant un numéro impair ».    (0,25pt)

Montrer que la probabilité de l’évènement A est                                                                (0,25pt)

• Soit n un entier naturel non nul.

Un autre joueur lance la roulette n fois de suite et d’une manière indépendante.

Soit q_n la probabilité de l’évènement : « l’index pointe au moins une fois sur un secteur portant un numéro pair »

1. Calculer q_n en fonction de n.                                                                                    (0,5pt)
2. Déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l’inégalité q_n ≥ 0,99 .                                (0,5pt)

PROBLEME 1 (7pts)

Dans le plan (P), on considère le triangle direct ABC, isocèle et rectangle en A tel que AB = 3cm.

On désigne par :     (D) la droite passant par B et perpendiculaire à (BC),

r_A la rotation de centre A, d’angle

r_B la rotation de centre B, d’angle –

h l’homothétie de centre B, de rapport  ,

s_(D) la symétrie orthogonale d’axe (D),

s_(AB) la symétrie orthogonale d’axe (AB).

Partie A

1. 1 construire le triangle ABC et tracer la droite (D)                                                                                 (0,5pt)
2. Déterminer et construire le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs

 -1 ; 1 et 1.                                                                                                                            (0,25pt+0,25pt)

• a) Discuter suivant les  valeurs du paramètre réel k l’existence et la nature de l’ensemble (E_k)

 des points M du plan (P) tels que –MA²+ MB²+MC²= 18 – k² (1pt)

b) Construire l’ensemble (E₃)                                                                                                     (0,25pt)

Partie B

Soit f = r_A o r_B

1. a) Donner la nature de la transformation f   . Justifier la réponse.                                                     (0,25pt)
2. Déterminer l’image du point B par f  . Caractériser f.                                                (025pt+0,25pt)
3. On pose s = f o s_(D . En décomposant f en produit de deux symétries orthogonales,

montrer que s est une symétrie orthogonale dont on déterminera l’axe.                                     (0,5pt)

• Soit T = h o s_(AB)
• Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T                                                                     (0,5pt)
• Placer le point E image de C par la transformation T.                                                                (0,25pt)

Partie C

Le plan (P) est rapporté au repère orthonormé direct (A, →AB, →AC)

1. Donner les affixes des points A, B, C et G.                                                                                            (0,5pt)
2. a) Déterminer l’expression complexe de chacune des transformations r_A, r_B, f et s_(AB)                  (0,25ptx4)
3. b) En déduire l’expression complexe de la transformation g = f o s_(AB)                                                  (0,5pt)

c) Donner la nature et les éléments caractéristiques de g.                                                           (0,25pt+0,5pt)

PROBLEME 2 (9pts)

Soit f la fonction définie sur  ]-∞ ;1[  par :

On désigne (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) d’unité 2 cm.

Partie A

1. Montrer que la fonction f est continue en x₀= 0.                                                                         (0,5pt)
2. a) Etudier la dérivabilité de f en x₀= 0.                                                                                       (0,5pt)
3. Donner une interprétation géométrique.                                                                              (0,25pt)

2/3

• a) Déterminer la fonction dérivée de f sur chacun des intervalles ]-∞;0[ et ]0;1[                             (0,5pt)

b) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur ]-∞;0[                                                     (0,75pt)

4-  Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique α sur l’intervalle ]-∞;-1[

Vérifier que : α ∈ ]-2,7; -2,4[ .                                                                                            (0,5+0,25pt)

5- Tracer la courbe (C), préciser la tangente ou les demi-tangentes à l’origine du repère.                             (1pt)

Partie B :

Pour une valeur fixe de x sur l’intervalle ]0;1/2[, on considère la suite (I_n(x))n ∈ ℕ définie par :

1. Montrer que I₀(x) = g(x).                                                                                                      (0,75pt)
2. a) Montrer que pour tout t ∈ [0;1/2], on a : 0 ≤ 1/ (1-t²) ≤ 4/3. (0,5pt)

b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ, : 0 ≤ I_n(x) ≤ (4×2ⁿ⁺¹)/3(2n+1)                            (0,5pt)

c) Calculer Lim I_n(x)                                                                                                      (0,25pt)

n  →  +∞

• a) Exprimer I₀(x) – I₁(x) en fonction de x.                                                                             (0,5pt)

b) Généraliser le résultat précédent pour tout entier naturel n ; c’est-à-dire

exprimer en fonction de x et n, l’expression I_n(x) – I_n+1(x).                                                  (0,5pt)

c) En déduire que pour tout n ∈ ℕ* g(x)= P_n(x)+ I_n+1(x) où P_n est une fonction polynômiale à

déterminer.                                                                                                                                       (1pt)

• Soit (S_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

A l’aide des résultats des questions précédentes, montrer que la suite (S_n)_n∈ℕ  converge vers ln3/2.          (0,75pt)