Sujet de Mathématiques – Série D – 2018

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR               BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL

     ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

                     SECRETARIAT GENERAL

DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT                                                           SESSION 2018

                                 SUPERIEUR

DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

                           PUBLIC et PRIVE

                 Service d’Appui au Baccalauréat

Série              : D                                                      Epreuve de :             MATHÉMATIQUES                                                                                 Durée         :              3 heures 15 mn Code matière :  009                 Coefficient : 4

NB : – Les deux (02) exercices et le problème sont obligatoires.

– L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisée.

EXERCICE 1 : (5 points)

Soit P le polynôme à variable complexe z définie par : 

P(z)  = z³ + (1-9i)z² – (24 + 6i)z – 14 + 18i

1. a- Déterminer le nombre complexe z0 tel que : 

P(z) = (z –z₀) (z² – 4iz – 4 –2i)                                                                                                     (0,5pt)

b- En déduire les solutions dans C l’équation P(z) = 0                                                                            (0,75pt)

• Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, →u, →v) d’unité 1cm, on considère les points A, B et c d’affixes respectives :

z_A= –1 + 5i ; z_B = 1 + 3i et z_C = –1 + i

1. Placer les points A, B et C                                                                                                                  (0,5pt)
2. Calculer les distances AB et BC et déterminer une mesure de l’angle (→BA, →BC)                              (0,75pt)

En déduire la nature du triangle ABC.                                                                                   (0,25pt)

• On note I le milieu du triangle [AC]. Déterminer l’affixe zI du point I.                                            (0,25pt)
• Déterminer puis construire l’ensemble (C) des points M d’affixe z tels que |z+1-3i|=2      (0,5pt)
• Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme le point C en B
• Déterminer l’expression complexe ainsi que les éléments caractéristiques de S.                              (1pt)
• Déterminer et construire l’ensemble (C ’) image de (C) par S.                                                         (0,5pt)

EXERCICE 2 : (5 points)

1. On lance une fois un dé tétraédrique à quatre faces numérotées 1,2,3 et 4

On s’intéresse au numéro de la face cachée. Pour k E {1 ;2 ;3 ;4}, on note Pk la probabilité pour que le numéro de la face cachée soit égale à k.

Le dé est truqué de la telle sorte que les probabilités P₁, P₂, P₃ et P₄ vérifient les conditions suivantes : 

P₂ = 1/2P1=1/3P₃ et P₄=2P₁

Démontrer que P₁ = 1/5 En déduire les probabilités P₂, P₃ et P4.                                                         (1,25pt)

• On lance deux fois de suite ce même dé.
• Calculer la probabilité de l’événement

A : « Le produit des deux numéros des deux faces cachées est égale à 4 »                                 (0,75pt)

• On distingue par a le numéro de la face cachée au premier lancer et par b le numéro du deuxième.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre|b-a|=

• Donner la loi de probabilité de X.                                                                                          (1,25pt)
• Calculer l’espérance mathématique E(X) de X.                                                                     (0,5pt)
• On lance quatre fois de suite et d’une manière indépendante ce dé.

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face n°1 est cachée.

1. Calculer la probabilité de l’événement (Y≥1)                                                               (0,75pt)
2. Calculer E(Y) et V(Y)                                                                                                                  (0,5pt)

PROBLEME : (10 points)

On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = -x + 3 + (-1 + lnx) / x

On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé directe (O, →i, →j) d’unité 1 cm.

1. Soit g la fonction définie ]0;+∞[ par g(x) = x² – 2 +lnx
2. Etudier le sens de variation de g sur ]0;+∞[                                                                               (1pt)
3. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution réelle unique ∞ telle que ∞∈]1,2;1,4[  (0,5pt)
4. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.                                                                   (0,5pt)
5. a- Calculer lim f(x)  interpréter graphiquement le résultat                                      (0,5+0,25pt)

x→0⁺

b- Calculer lim f(x)                                                                                                                        (0,5pt)

x→+∞

c- Montrer que la droite (D) d’équation y = –x + 3 est asymptote oblique à (C)                              (0,5pt)

d- Etudier la position relative de (C) par rapport à (D)                                                                     (0,5pt)

• a- Montrer que, pour tout x ∈ ]0;+∞[, f'(x)=-g(x)/x²                                                           (0,75pt)

b- Démontrer que f(∝) = -2∝²+3∝+1 / ∝                                                                                         (0,75pt)

• a- Déterminer les coordonnés du point A de (C) où la tangente (T) est parallèle à (D)                    (0,75pt)

b- Construire (T), (D) et (C). (On prendra ∝≈ 1,3 pour la construction)                                          (1,75pt)

• Calculer, en cm², l’aire A du domaine plan délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations x = 1 et x = e                                                                                                                  (1,25pt)

On donne : e ≈ 2,71 ; e² ≈ 7,38 ; 1/e² ≈ 0,13