Sujet de Mathématiques – Série D – 2017

—

by

Soaway
in , , , ,

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR               BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL

     ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

                     SECRETARIAT GENERAL

DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT                                                           SESSION 2017

                                 SUPERIEUR

DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

                           PUBLIC et PRIVE

                 Service d’Appui au Baccalauréat

Série              : D                                                      Epreuve de :             MATHÉMATIQUES                                                                                 Durée         :              2 heures 15 mn Code matière :  009                                              Coefficient : 4 

NB :   – Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

– L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisée.

EXERCICE 1 : (5points)

  1. a) Résoudre dans C, l’équation (E1) : z² –2z + 2 = 0                                             (0,5pt)

b) Préciser le module et un argument de chacune des solutions de (E1)                   (0,5pt)

c) En déduire les solutions dans C de l’équation                                                  (0,75pt)

(E2) : (-iz + 3i + 3)² –2(–iz + 3i + 3) + 2 = 0 (On pour poser Z = –iz + 3i + 3)

  • Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé directe (O,u,v) d’unité 1cm.

On donne les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 1+i , zB = 1–i et zC = 2–2i

  1. Placer les points A, B et C                                                                            (0,25pt)
  2. Donner la forme trigonométrique de U ZE-ZC/ZE-ZA avec E d’affixe zE = 3 (0,25pt+0,25pt)
  3. En déduire la nature du triangle AEC                                                             (0,5pt)
  4. On considère la transformation R du plan (P) dans (P) qui à tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’+iy’ tel que :

{ x’ = -y

  y’ = x-4

  1. Donner l’expression complexe de R                                                              (0,5pt)
  2. Présicer la nature et éléments caractéristiques de R                                 (0,25pt+0,5pt)
  3. Soit (Γ) le cercle de centre E de rayon √5

Déterminer et construire l’image (Γ’) de (Γ) par R dans le repère précédent. (0,5pt+0,25pt)

EXERCICE 2 : (5 points)

  1. on dispose deux urnes dont l’unité U1 contient 8 boules numérotées : 0;2;2;2;3;3;4;5 

et l’autre U2 contient 5 boules numérotées : 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2

Les boules sont indiscernables au toucher.

  1. On tire au hasard et successivement sans remise 3 boules de l’urne U1

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : 

E1 : « Les numéro des 3 boules tirées sont pairs »                                           (0,75pt)

E2 : « Avoir 3 boules dont la somme des numéros tirés est égale à 6 »               (0,75pt)

  • On tire au hasard et simultanément 2 boules de U2 et 1 boule de U1

On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables.

Soit X la variables aléatoires égale au nombre de boules portant le numéro 2.

  1. Donner la loi de probabilité de X                                                              (1pt)
  2. Calculer l’espérance mathématique E(X) de X                                           (0,5pt)
  3. Lors d’une épreuve facultative d’EPS, on donne pour 4 élèves les points bonus xi 

Obtenus en épreuve de « course de fond » et yi obtenus en épreuve de «saut » : 

xi1257
yi2245
  1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le résultat.              (0,5pt+0,25pt)
  2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés l’équation de la droite

     de régression de y en x                                                                                     (0,75pt)

  • Estimer le bonus en épreuve de saut pour un élève ayant 9 points de bonus en

 course de fond                                                                                                (0,5pt)

PROBLEME : (10 points)

On considère la fonction f définie su IR par 

{  f(x) = 1 – ex si x ≤ 0

   f(x- = x (-1 + lnx) si x > 0

On note par (C) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, →i, →j ) d’unité 1 cm

  1. Etudier la continuité de f en x0 = 0                                                            (0,25ptx2)
  2. a) Montre que lim [f(x)-f(0)/x] = -1 et lim [f(x)-f(0)/x] = –∞]                  (0,5ptx2)

x → 0– x → 0+

b) Interpréter graphiquement ces résultat                                                            (0,25pt)

c) Calculer les limites de f en -∞ et +∞                                                           (0,5pt)

  • a) Pour x >0, calculer f'(x) et étudier son signe.                                                  (0,75pt)

b) Pour x ≤ 0, calculer f'(x)et étudier son signe.                                                 (0,75pt)

c) Dresser le tableau de variation de f                                                        (1pt)

  • Donner l’équation de la tangent (T) à (C) au point d’abscisse x0 = e                       (0,5pt)
  • a) Calculer                                                                                              (0,25pt)

b) Etudier les branches infinies de (C)                                                                (0,5pt)

  • Tracer la tangente (T) et la courbe (C) en précisant les demi-tangentes au point 0    (1,5pt)
  • Soit g la restriction de f sur l’intervalle I = [e ; +[
  • Montrer que g admet une fonction réciproque g–1 définie sur l’intervalle J 

que l’on précisera                                                                                        (0,5pt)

  • Dresser le tableau de variation de g–1                                                             (0,25pt)
  • Tracer la courbe (C  ) de g–1 dans le même repère que (C)                                (0,5pt)
  • Calculer (g–1)’ (e²)                                                                                       (0,5pt)
  • En utilisant une intégration par parties, calculer, en cm² l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = e et x = e²              (0,75pt)

On donne e ≈ 2,7 et e² ≈ 7,4