Sujet de Mathématiques – Série C – 2018 – Soaway

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

SECRETARIAT GENERAL

DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SESSION 2018

SUPERIEUR

DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

PUBLIC et PRIVE

Service d’Appui au Baccalauréat

Série : C Epreuve de : MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures Code matière : 009 Coefficient : 5

NB : – L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée.

– L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

EXERCICE (4 points)

Arithmétique
Soit l’entier naturel A = 3 x 5^2n-1+ 2^3n-2 avec n≥1
Montrer 20 x A est divisible par 17 (0,5pt)
En déduire que A est divisible par 17. (0,25pt)
Un entier nature B s’ecrit 3122 en base 4 et 431 en base n. Déterminer l’entier naturel n. (0,5pt)
Calculer les entiers naturels non nuls a et b vérifiant :

a² – b² = 2916 et PGCD (a ;b) = 18 (0,75pt)

Probabilité

Une urne contient 2n jetons rouges et (n+3) jetons noirs, n ∈ IN*

On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons de l’urne
Exprimer en fonction de n la probabilité P(A) de l’événement

A : « On obtient un jeton rouge au premier tirage ». (0,75pt)

Calculer lim P(A) (0,25pt)

n → + ∞

On tire au hasard successivement et avec remise trois jetons de l’urne.
Exprimer en fonction de n la probabilité P(B) de l’évènement

B : « On obtient un jeton noir au premier tirage ». (0,75pt)

Calculer lim P(B) (0,25pt)

n → + ∞

PROBLEME 1 (7 points)

Dans le plan orienté P, on considère le triangle ABC rectangle en A tel que BC = 2AB = 4cm et

mes (→AB, →AC ) = π/2

Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme le point A en C.

I – 1) Construire en vraie grandeur le triangle ABC. (0,25pt)

2) a) Soit G le barycentre du système {(A, –1), (B, 1), (C, 1)}. Placer le point G. (0,5pt)

b) Déterminer puis construire l’ensemble (E1) = {M ∈ P / -MA² + MB² + MC² = 4} (0,5pt + 0,25pt)

c) Démontrer que, pour tout point M du plan P, –2→MA + →MB + →MC est un vecteur constant dont on précisera son expression en fonction des vecteurs AB et AC. (0,5pt)

d) Déterminer puis construire l’ensemble

(E₂) = {M ∈ P / (–2→MA + →MB + →MC ). (–→MA + →MB + →MC ) = 0} (0,5pt + 0,25 pt)

II– 1) Déterminer le rapport et l’angle de S. (0,5pt)

2) Soient M le point du demi-cercle de diamètre [BC] ne contenant pas A et M’ le point tel que BM’ = 2BM et que C, M et M’ soient alignés dans cet ordre.

Placer les point M et M’ (0,25pt)
Montrer que S (M) = M’ (0,5pt)

III– Le plan est muni d’un repère orthonormé directe (A ; →u ; →v) avec →u= →AB/2

a) Donner les affixes des points B, C et G. (0,75pt)

b) Déterminer l’expression complexe de S. (0,5pt)

c) En déduire les éléments caractéristiques de S. (0,5pt)

2) Soit T la transformation du plan définie par son expression complexe

z’ = (–1 + i√3)z –2–2i√3.

Quelle est la nature de T ? (0,25pt)
Déterminer les éléments caractéristiques de T. (1pt)

PROBLEME 2 (9 points)

On considère la fonction numérique f définie sur [0 ; +∞ [ par :

{f(x) = x/ln (x+1 si x ∈ ]0,+ ∞[

f(0) = 1

On note par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,→i ; →j) d’unité 1 cm.

Partie A

Soit g la fonction définie par sur [0 ; + ∞[ par g(x) = x/x+1 – ln (x+1)

Etudier la variation de g. (0,5pt)

En déduire le signe de g(x) pour tout x > 0 (0,25pt)

Soit h la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par h(x) = ln(x+1) – x + x²/2 – x³/3

Etudier la variation de h. (0,5pt)

En déduire le signe de h(x) pour tout x 0 (0,25pt)

Montre que pour tout x ≥ 0, ln(x+1) – x + x²/2 ≥ 0 (0,5pt)

En déduire que pour tout x > 0, -1/2 ≤ ln(x+1)-x/x² ≤ -1/2 + x/3 (0,5pt)

Calculer lim ln(x+1)/x -1/x

x →O⁺ (0,25pt)

Partie B

Soit la fonction définie sur [0 ; +∞[ par φ(x) = 1/f(x)

Montrer que les deux fonctions f et sont continues à droite en 0. (0,75pt)

a) Exprimer f(x) – f(0)/x en fonction de x, φ(x) et φ(0). (0,25pt)
En déduire que lim f(x)-f(0)/x = 1/2 Que peut-on dire de f ? (0,75pt)

x →O⁺

Calculer la limite de f en +∞ (0,5pt)
a) Donner une relation entre f’(x) et g(x) pour tout x 0 , où f’ est la fonction dérivée de f. (0,5pt)

b) Dresser le tableau de variation de f. (0,5pt)

a) Etudier la branche infinie de la courbe (C) au voisinage de +∞ (0,25pt)

b) Tracer la courbe (C) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse x₀ = 0 (1,25pt)

Partie C :

Démontre que, pour tout réel t E [0 ; 1], on a 1-t ≤ 1/1+t ≤ 1 (0,5pt)
En déduire que, pour tout x E [0 ; 1], on a : 1≤ f(x) ≤ 2/2-x (0,5pt)
Montrer alors que 1≤∫_0^1f(x) dx ≤ 2ln2 (0,5pt)