Sujet de Mathématiques – Série A – 2017

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR               BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL

     ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

                     SECRETARIAT GENERAL

DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT                                                           SESSION 2017

                                 SUPERIEUR

DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

                           PUBLIC et PRIVE

                 Service d’Appui au Baccalauréat

Série              : A                                                      Epreuve de :             MATHÉMATIQUES                                                                                 Durée         :              2 heures 15 mn Code matière :  009                                              Coefficient : A1=1 ; A2=3

NB :   – Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

Pour tout entier naturel n, on pose U_n = (3/4)_n et Vn = ln (U_n)

1-a- Calculer U₀, U₁, V₀ et V₁                                                                            (0,25ptx4)

b- Montrer que (Un) est une suite géométrique de raison q = 3/4                       (1pt)

c- Calculer en fonction de n la somme Sn = U₀ + U₁ + …… + U_n                  (0,75pt)

2-a- Vérifier que (V_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.   (1pt)

b- En déduire la variation de la suite (V_n)                                                            (0,25pt)

3- Calculer lim S_n et  lim V_n                                                                        (0,5ptx2)

n → +∞ n → +∞

EXERCICE 2 (5 points)

         Le tableau suivant représente l’évolution des bénéfices par mois d’un marchand (y_i) (en millions d’Ariary) où y₆ est un nombre entier naturel.

Mois	Janvier	Février	Mars	Avril	Mai	Juin
Rang du mois (xi)	1	2	3	4	5	6
Bénéfice (yi)	32	34	36	41	42	Y6

1. Calculer la valeur de y₆ si la moyenne de la série (y_i) est ȳ = 39                    (1pt)
2. Dans tout ce qui suit, on prendra y₆ =49
3. Représenter le nuage des points M_i(x_i, y_i) dans un repère orthogonal.                 (1pt)
4. Sur l’axe des abscisses : prendre 1 cm comme unité. 
5. Sur l’axe des ordonnées : placer 30 à l’origine et prendre 1 cm pour représenter 2 millions d’Ariary.
6. Déterminer les coordonnées du point moyen G.                                     (1pt)
7. Ecrire l’équation cartésienne de la droite d’ajustement linéaire (G₁G₂) par la méthode de Mayer.                                                                                           (1pt)
8. A l’aide de cette droite, estimer le bénéfice du marchand au mois de  septembre.     (1pt)

PROBLEME (10 points)                                                                       A₁   –    A₂

On considère la fonction f définies sur R par : f(x) = e^x/e^x+1 + 2

On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i, →j) d’unité 2cm.

1. Calculer lim f(x) Interpréter graphiquement ce résultat.                                             (0,75pt ; 0,75pt)

x→ -∞

1. a- Démontrer que pour tout réel x , f(x) = 3 – 1/e^x+1                                                    (0,5pt ; 0,5pt)

b- En déduire lim f(x) Que peut-on en conclure pour la courbe (C) ?                        (0,75pt ; 0,75pt)

x→ +∞

• 3- a- Vérifier que la fonction dérivée f(x) = (e^x+1)²                                                            (1pt ; 1pt)

b- Dresser le tableau de variation de f.                                                                             (2pts ; 1,5pt)

• a- Montrer que le pont I (0 ; 1/2) est un centre de symétrie de la courbe (C).                     (1pt ; 0,75pt)

b- Ecrire l’équation de la tangent (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x₀ = 0            (1pt ; 1pt)

c- Calculer à 0,1 près f (–1), f(1) et f(2)                                                                            (1,5pt ; 0,75pt)

• Tracer la courbe (C) et (T) dans le même repère.                                                            (1,5pt ; 1pt)

Pour A2 seulement

• Soit F la fonction définie sur R par : F(x) = 2x + ln(e^x + 1)
• Calculer F’(x). Que peut-on en conclure ?                                                                             (1pt)
• Calculer, en cm², l’aire géométrique A du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = ln3                                                                     (1pt)

On donne : ln2 ≈ 0,7 ; ln3 ≈ 1,1 ; e^–1 ≈ 0,4 ; e ≈ 2,7 ; e² ≈ 7,4