MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
SECRETARIAT GENERAL
DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SESSION 2017
SUPERIEUR
DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
PUBLIC et PRIVE
Service d’Appui au Baccalauréat
| Série : C Epreuve de : MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures Code matière : 009 Coefficient : 5 |
NB : – L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
– L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.
EXERCICE : (4 points)
Arithmétiques :
- a) Montrer que pour tout entier naturel x et y, on a x + y et x – y ont la même parité. (0,5pt)
b) En déduire la résolution dans ℕ x ℕ de l’équation : x² = y² +8 (0,5pt)
- a) Résoudre dans l’équation : 5x ≡ 1[mod3] (0,5pt)
b) En déduire une solution particulière de l’équation : 5x – 3y = 1 (0,25pt)
c) Résoudre dans ℕ x ℕ l’équation : 5x-3y = 1 (0,25pt)
Probabilité :
Une urne contient 3 boules blanches et n boules noires (n ≥3). Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
- Un enfant tire simultanément deux boules de l’urne. On note par An l’évènement : « Obtenir au moins une boule noire »
- Calculer la probabilité P(An) de An (0,5pt)
- Calculer lim P (An) (0,25pt)
n+∞
- Pour quelle valeur n a-t-on P(An) ≤ 0,99 ? (0,5pt)
- On remet l’urne dans la condition initiale. L’enfant tire de nouveau au hasard une à une 3 boules en remettant dans l’urne chaque boule qui a été tirée. Soit l’évènement Bn : « tirer 3 boules blanches. »
- Calculer la probabilité (Bn) de Bn (0,5pt)
- Déterminer la valeur n ∈ N pour que P(Bn) = 27/1000 (0,25pt)
PROBLEME 1 (7 points)
Dans le plan orienté (P), on considère le triangle équilatéral ABC tel que mes ((¯(BC,BA)) ̂ = π/3 = et AB = 4cm
Soit I le projeté orthogonal de A sur le segment [BC]. La droite parallèle à la droite (AI) et passant par le point C coupe la droite (AB) au point Ω. On note par D le symétrique de B par rapport au point C.
Soit t la translation de vecteur BC ; r la rotation de centre A et d’angle π/3 ; r1 la rotation de centre B et
d’angle -π/3 ; f = tor et g= for1
Partie A
- Faites la figure et placer les point A, B, C, D, I et Ω (0,5pt)
- a) Décomposer t en deux symétries orthogonales dont l’un des axes est la droite (AI) (0,5pt)
- Décomposer r en deux symétries orthogonales dont l’un des axes est la droite (AB) (0,5pt)
- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f (0,5pt)
- a) Déterminer g(B) (0,5pt)
- En déduire la nature et les éléments caractéristiques de g. (0,5pt)
- On note par A‘= f (A), B’= f(B) et C’= f(C)
- Placer les points A‘, B’ et C’ sur la même figure. (0,5pt)
- Quelle est la nature du triangle A‘ B’ C’? Justifier (0,25pt)
- Montrer que Ω, A‘ et B’ sont alignés. (0,25pt)
Partie B
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé directe (B,→u, →v). Sachant que →u = 1/3, →BI et →v = 1/3√3,→IA
- a) Exprimer le vecteur →BA en fonction des deux vecteur →u et →v, (0,5pt)
b) Déterminer les affixes des points A,B et C ; (0,25ptx3)
2- a) Ecrire les expressions complexes de t, r et r1 (0,25ptx3)
b) En déduire les expressions complexes de f et g. (0,25ptx2)
c) Déterminer leurs natures et leurs éléments caractéristiques. (0,25ptx2)
PROBLEME 2 (9 points)
Partie A
Pour tout entier naturel n > 0 , soit la fonction numérique fn de la variable réelle x définie sur R –{–1} par :
On note par (C n) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,→i, →j ) d’unité 1cm.
- a- Calculer les limites de fn aux bornes de son ensemble de définition (on distinguera les cas où
n est pair ou impair).
b- Calculer la fonction dérivée f’n(x) en fonction de x et n. (1pt)
c- Dresser les tableaux de variations de fn selon la parité de n. (0,5pt)
- Montrer que toutes les courbes (C n) passent par un point fixe de coordonnées que l’on précisera. (0,25pt)
- Calculer lim fn(x)/x (distinguer les deux cas où n st par ou impair) (0,25pt)
n +→ -∞
- a- Etudier suivant les valeurs de x la position relative des courbes (C1) et (C 2) (0,25pt)
b- Tracer (C1) et (C 2) dans le même repère (1pt)
Partie B
Pour tout entier naturel n > 0, soit In = ∫_0^1fn(x)dx
- Donner l’expression de f’n(x) en fonction de fn(x) et fn+1(x) (0,5pt)
- a- Montrer que la suite (In) est décroissante. (0,5pt)
b- En déduire que la suite (In) est convergente. (0,5pt)
- a- Démontre que pour tout entier naturel n >0 et 0 ≤ x ≤1, on a e-1/(1+x)n ≤ fn(x) ≤ 1/(1+x)n (0,25pt)
b- En déduire que pour tout n >0, on a : e-1/n-1[1-(1/2n-1)] ≤ In ≤ 1/n-1[(1/2n-1)] (0,25pt)
c- Calculer lim ln (0,25pt)
n →+ ∞
- a- En utilisant la question 1) de la partie B, montrer que In + nIn+1 = 1–e-1/2n (0,25pt)
b- En déduire lim nln+1 (0,25pt)
n → + ∞
Partie C (Cette partie est indépendante des deux parties A et B)
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n>0 par : Un = ∫_0^1 xn ln(x+1)dx
- En déduire lim Un &nbs