Sujet de Mathématiques – Série D – 2020

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BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL         SESSION 2020

D

Série   Code matière

: D   : 009

Epreuve de Durée Coefficient

: MATHEMATIQUES : 03 heures 15 minutes : 4

NB :     – Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

– L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

EXERCICE (05 points)

 Soit le polynôme P à variable complexe z définie par :

P(z) = z³ – (9+4i)z² + (23+ 22i)z -15 – 30i

1. a) Calculer P(3) (0,25pt)
2. Résoudre dans  l’équation : P(z) = 0                                                                           (1pt)
3. Dans le plan complèxe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, →u, →v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives z_A= 2+ i ; z_B =3 et z_C= 4+3i
4. On pose Z = Z_C-Z_A / Z_B-Z_A

Ecrire Z sous forme trigonométrique, en déduire la nature du triangle ABC.              (0,75pt)

• M’  étant le point du plan d’affixe z’. On pose z’ z’= z-4-3i / z–3 avec z ≠ 3

Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z pour que z’ soit

 imaginaire pur.                                                                                                                          (1pt)

• Soit S la similitude plane directe de centre A telle que S(B)= C
• Donner l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques.              (1pt)
• Soit S’ la similitude directe de centre A, de rapport 3/2 et d’angle π/2

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composition : f= SoS’                    (1pt)

EXERCICE 2 (05 points)

Un sac contient dix jetons indiscernables au toucher dont 2 verts, 3 bleus et 5 jaunes.

1. On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Obtenir exactement deux jetons jaunes ».                                                                  (0,5pt)

B : « Obtenir au moins deux jetons de même couleur »                                                      (1pt)

• On remet le sac dans sa condition initiale. L’épreuve (ε) consiste à tirer au hasard et simultanément quatre jetons du sac. On effectue une fois l’épreuve (ε) et on considère les événements suivants :

C : « Avoir trois jetons de même couleur »

D : « Avoir au plus un jeton bleu »

1. Calculer la probabilité de l’événement C.                                                                      (0,5pt)
2. Montrer que p(D)= 2/3 où p(D) est la probabilité de l’événement D.                              (0,5pt)
3. On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (ε)

A chaque épreuve, on gagne 1 point si l’événement D est réalisé, sinon on gagne 0 point.

Soit X la variable aléatoire égale au total des points gagnés à l’issue de trois épreuves.

1. Déterminer l’univers-image de X                                                                                   (0,5pt)
2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X                                                 (1pt)
3. Calculer P(X 2)                                                                                                           (1pt)

NB : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

PROBLEME (10pts)

Soit f la fraction numérique définie sur [0;+∞[ par :

On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; →i,→j; ) d’unité 2 cm.

1. a)  Calculer  .Que peut-on en déduire pour la fonction f ?                                                  (0,75pt)

b) Etudier la dérivabilité de f à droite en x₀ = 0                                                                   (0,5pt)

• a) Déterminer la limite de f en +                                                                                       (0,5pt)

b) Montrer que pour tout x >0 : f’(x) = 2x(1 –lnx) où f’ est la fonction dérivée de f.         (0,75pt)

• Dresser le tableau de variation de f sur                                              (1pt)
• Montrer que l’équation f(x)= 0 admet une solution unique ∝ sur ]e; +∞[

et vérifier que 4,6<∝<4,8                                                                                                            (1pt)

• a) Montrer que la courbe (C) admet un point d’inflexion I que l’on déterminera les

coordonnées.                                                                                                                                   (1pt)

b) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x₁ = 1.      (0,5pt)

• a) Etudier la branche infinie de (C) en +                                                          (0,5pt)

b) Construire (T) et (C) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse x₀ = 0

(Prendre =4,7 ; e=2,7 et e²= 7,4 pour la construction)                                                    (1,75pt)

• a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I=  ∫^e1 x²lnx dx                         (1pt)

b) En déduire, en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C)

L’axe (x’ox) et les droites d’équations respectives x= 1 et x = e                                         (0,75pt)