Sujet de Mathématiques – Série C – 2022

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE                          DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR                           Service du Baccalauréat

BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL   SESSION 2022

D

Série Option Code matière

: Scientifique : C : 009

Epreuve de Durée Coefficient

: Mathématiques : 04 heures : 5

NB :   – L’utilisation d’une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée.

           – L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

EXERCICE (04points)

Partie A

Un appareil de jeu est constitué de 5 cases numérotées de 1 à 5 et d’une seule boule.

L’épreuve consiste à faire tomber la boule dans l’une de ces 5 cases

1. On effectue une épreuve et on suppose qu’il existe un réel positif  p tel que P_k = (k+ 1)p où P_k est la probabilité pour que la boule soit tombée dans la case numéro k avec

k{1,2,3,4,5}

1. Déterminer le réel p                                                                                                       (0,75pt)
2. En déduire que p₁ = et p₃=                                                                                        (0,25pt)
3. On répète 3 fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve de la question 1)
4. Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée une fois et une seule

dans la case numéro 1                                                                                                    (0,5pt)

• Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée au moins 2 fois

dans la case numéro 3                                                                                                    (0,5pt)

NB : donner les résultats sous forme de fraction rationnelle irréductible

Partie B

Pour tout entier naturel n, on pose A_n = 5⁴ⁿ⁺² –11²ⁿ⁺²

1. a) En utilisant une démonstration par récurrence sur n, montrer que An est divisible par 4 (0,5pt)
2. A l’aide de congruence arithmétique, montrer que An est divisible par 3                    (0,5pt)
3. a) A l’aide du théorème de Gauss, montrer que si un entier relatif N est divisible

simultanément par deux entiers relatifs p et q premiers entre eux alors N est

divisible par le produit pq.                                                                                                   (0,75pt)

b) Montre que A_n est divisible par 12                                                                                  (0,25pt)

PROBLEME I (07points)

Dans le plan orienté P, on considère le triangle équilatéral direct ABC tel que AB = 3cm, on désigne par G

L’isobarycentre des 3 points A, B, C. soient BDEC un parallélogramme direct tel que →CE = →AC. Soient O le milieu du segment [AB] et F le point d’intersection de la médiatrice de [BD] avec la droite (AB).

Soient :

r₁ la rotation de centre A d’angle

r₂ la rotation de centre B d’angle

T la transformation réciproque de r₂

t la translation de vecteur →AC

S la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en E On pose f=r₁ o r₂ et g = t o T 

Partie A

1. Tracer le triangle ABC et placer les points O, G, D, E et F                                                (0,5pt)
2. a) Quelle est la nature de la transformation f ?                                                                    (0,25pt)

b) Décomposer r₁ et r₂ en produit de deux symétries orthogonales

convenablement choisies                                                                                                     (0,5x2pt)

c) Donner les éléments caractéristiques de f                                                                        (0,5pt)

• a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de T                                                    (0,5pt)

b) Caractériser g à l’aide de décomposition de la translation t et de la transformation T

en produit de deux symétries orthogonales, dont l’un des axes est la droite (BG)                         (0,75pt)

• Déterminer le rapport et l’angle de S                                                                                   (0,5pt)

Partie B

Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct (O, →OB, →V)

1. Déterminer les affixes respectives des points A, B, C, E.                                                   (0,5pt)
2. a) Donner l’expression complexe de chacune des transformations r₁ et r₂                                   (0,5x2pts)

b) En déduire l’expression complexe de f                                                                           (0,5pt)

• a) En utilisant les hypothèses S(A)= A et S(B)=E, déterminer l’expression

complexe de S                                                                                                                     (0,5pt)

b) Retrouver le rapport et l’angle de S à l’aide de son expression complexe                      (0,5pt)

PROBLEME II (9points)

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (O, →i,→j) d’unité 2 cm.

1. Montrer que f est continue en x₀ = 0                                                                                    (0,5pt)
2. Etudier la dérivabilité à gauche en x₀=0 de la fonction f                                                     (0,25pt)
3. Montrer que f n’est pas dérivable à droite en x₀ = 0                                                            (0,5pt)
4. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (pour la limite en +

on pourra poser X=)                                                                                                         (0,25+0,5pt)

1. Déterminer f’(x) sur chacun des intervalles]–∞,0[ et ]0,+∞[ où f’

est la fonction dérivée de f                                                                                            (0,5pt)

• Pour tout x > 0 on pose g(x) = g(x) = ln (1+1/x) + x / (x-1)-1

A l’aide de l’étude de variation de la fonction g, trouver le signe de g(x) puis de f’(x) sur l’intervalle ]0,+∞[                                                                                                    (0,75pt)

• Dresser le tableau de variation de f                                                                                      (0,75pt)
• Tracer (C)  en précisant les demi-tangentes au point d’abscisse x₀ = 0                                           (1pt)

Partie B

Soit (U_n) la suite définie par : ∀_n n ∈ N* U_n = (1+1/n)ⁿ⁺¹. Soit ℘_n la fonction définie sur ]0,+∞[ par : ℘_n(x) = ln[1+(n+1)x] – n+1 / n+2 lnx où n ∈ N

1. a) Montrer que ℘_n admet un minimum dont on déterminera sa valeur en fonction de n (0 ,75pt)

b) En déduire que :    ∀_n n ∈ N* ∀_x ∈ ℝ*₊  \ {1}[ [1+(n+1)x/n+2]ⁿ⁺² > xⁿ⁺¹(1)                    (1pt)

• A l’aide de l’inégalité (1) déterminer le sens de variation de la suite (U_n)                          (0,75pt)

(On pourra poser x = n/n+1 où n ∈ N*)

• a) Pour tout  n ∈ N*, établir l’inégalité 1/n+1 ≤ ∫ⁿ⁺¹1/t dt

n

• et montrer que ∀_n n ∈ N*, Un ≥ e                                                                                                  (0,25pt+0,5pt)

1. Déduire des résultats des questions précédentes, l’étude de convergence

de la suite (Un)                                                                                                              (0,25pt)

• Calculer lim Un                                                                                                              (0,5pt)

n→ +∞